Les thèmes du GDR s'articulent autour du calcul des variation au sens large, et de ses interactions avec la théorie de la mesure géométrique. Il en va des applications comme des liens forts avec certains modèles physiques, jusqu'aux questions mathématiques de développement pure de la théorie.
Voici quelques thématiques représentatives de ce GDR :
Théorie de la mesure géométrique. Introduits en premier lieu pour la résolution du problème de Plateau (qui est toujours d'actualité), les outils de théorie géométrique de la mesure interviennent de façon sous-jacente dans presque tous les autres thèmes. Ils sont en particulier nécéssaires à la formulation faible de nombreux problèmes en calcul des variations, pour lesquelles on commence par relaxer le problème dans un espace plus général de façon à montrer l'existence d'un minimiseur. Certains travaux portent sur le développement de cette théorie pure, notamment dans des espaces non-euclidiens (espaces métriques abstraits, géométrie sous-riemanienne ...).
Problèmes à discontinuité libres. L'un des exemples emblématiques de ce type de problème est sans doute la minimisation de la fonctionnelle de Mumford-Shah introduite en segmentation d'image en 1989 et pour laquelle la conjecture célèbre sur la régularité des minimiseurs en dimension 2 est toujours ouverte. Ce type de problèmes où l'on minimise à la fois une énergie de type elliptique dans le complémentaire d'un ensemble singulier ``libre'' pour lequel on minimise une énergie de surface, intervient également dans de nombreux problèmes issus de la mécanique ou en optimisation de forme. Des questions à la fois de modélisation, d'existence, ou de régularité des minimiseurs sont au coeurs de certains travaux actuels. Citons par exemple les récents développements sur l'énergie de Griffith en mécanique de la rupture qui ouvrent des voies intéressantes dans ce domaine. Le problème de la résolution numérique de ces problèmes, typiquement par des méthodes de champ de phase, est également un domaine de recherches très actif.
Optimisation de forme. L'optimisation de forme est un sujet qui mélange à la fois des questions théoriques ou académiques sur des inégalités géométriques de type isopérimétrique (par exemple), et des problèmes d'optimisation appliqués à divers sujets tels que la biologie, la physique, ou l'économie. Les outils déployés pour traiter ce type de problèmes font appels à une large gamme de techniques venant de la géométrie et de l'analyse, ce qui en fait un sujet riche et varié. L'optimisation de forme numérique a depuis toujours eu un lien fort avec l'industrie (automobile en particulier) mais l'apparition récente des techniques d'impression 3D ouvre des perspectives nouvelles.
Transport optimal. Le transport optimal introduit par Monge au XVIIIème siècle a connu un succès phénomènal depuis une trentaine d'année. Ceci est dû à son apparition, de façon parfois surprenante, dans des questions à la fois théoriques en géométrie (traitement synthétique de la courbure de Ricci), analyse (inégalités fonctionnelles) et en probabilités (inégalités de concentration) ainsi que dans d'innombrables applications pour les EDPs (mécanique des fluides, Boltzmann, équations de diffusion), en traitement d'images ou en économie. Des variantes de ce problème comme le transport branché ou les problèmes de traffic avec phénomènes de congestion ont également été récemment le sujet de nombreuses recherches. On pourra aussi penser aux applications des idées venues du transport optimal pour les mean-field games.
Problèmes d'évolutions (flot gradient, flots géométriques) De nombreux problèmes d'évolutions peuvent être vus comme des flots gradients ou des évolutions quasi-statiques. L'un des exemple les plus simple est l'équation de la chaleur qui peut être interprétée à la fois comme un flot gradient L² de l'énergie de Dirichlet ou comme un flot de gradient Wasserstein pour l'entropie. On pourra par exemple également penser aux équations d'Euler, de Cahn-Hilliard, de réaction-diffusion ainsi qu'à de nombreux modèles issus de la mécanique de la rupture ou de la plasticité. Une classe particulièrement importante est constituée par les flots géométriques (flot par courbure moyenne, de Willmore, Hele-Shaw). Cette interprétation variationnelle permet à la fois d'obtenir des résultats d'existence de solutions ainsi que d'étudier certaines propriétés qualitatives comme la relaxation vers l'équilibre. Ceci permet également la mise au point d'algorithmes performants.
Physique mathématique (Ginzburg-Landau, micro-magnétisme, mécanique quantique) Que ce soit dans l'\'etude des vortex qui apparaissent dans les matériaux supra-conducteurs ou dans celle des motifs d'aimantation en micro-magnétisme en passant par l'analyse des structures des dislocations dans les cristaux, les méthodes variationnelles ont eu un grand succès en physique mathématique. D'autres applications en mécanique quantique pour étudier la structure de la matière (en chimie quantique par exemple) ou les phénomènes de condensation de Bose-Einstein sont également très importantes. A titre d'exemple, l'utilisation du transport optimal multi-marges est en plein essort en DFT.
Echelles multiples (homogénéisation...) La plupart des matériaux sont composites et présentent des phénomènes agissant à des échelles multiples. Comprendre leur comportement macroscopique (ou mésoscopique) est souvent difficile. Des outils tels que la compacité par compensation, la Gamma-convergence ou les mesures de Young ont connu un franc succès pour affronter des problèmes aussis variés que l'homogénéisation (en particulier stochastique), la réduction de dimension, l'approximation par champ de phase d'énergies d'interfaces (Modica-Mortola) ou le passage discret-continu (par exemple en plasticité). La dérivation de bons modèles macroscopiques et l'étude (potentiellement quantitative) de leur distance aux modèles microscopiques sous-jacents, est cruciale pour pouvoir correctement calculer numériquement les propriétés des matériaux étudiés.